El lamento de un matemático

[…] si tuviera que diseñar un mecanismo con el propósito expreso de destruir la curiosidad natural de los niños y su gusto por la creación de patrones, quizá no haría tan buen trabajo como el que se está haciendo —me faltaría la imaginación necesaria para dar con el tipo de ideas alienantes y sin sentido que constituyen el currículo contemporáneo en matemáticas.

Nada más empezar el verano pasado, cayó en mis manos un ensayo escrito hace unos años por Paul Lockhart, profesor de matemáticas en un instituto de secundaria de Brooklyn, Nueva York, llamado A Mathematician’s Lament. Ni un artículo ni un libro, este opúsculo tiene la casual propiedad de ser demasiado largo para ser leído de forma casual, y demasiado corto para ser publicado. Sin embargo, un vistazo rápido me desveló su naturaleza: una bomba. Y una bomba, además, demasiado familiar. A pesar de referirse en exclusiva a la enseñanza de las matemáticas en los Estados Unidos, todos y cada uno de los párrafos son adaptables o directamente trasladables al estado de la cuestión en nuestro país.

Lo más doloroso del modo en que las matemáticas se enseñan en las escuelas no es lo que falta —el hecho de que no se hacen matemáticas de verdad en clase— sino lo que ocupa su lugar: el confuso montón de desinformación destructiva conocido como “el currículo matemático”.

Al pan, pan. La enseñanza de las matemáticas es un fracaso. Es una suerte que la vida cotidiana no requiera de una gran base en álgebra o estadística; si fuera realmente necesaria, un porcentaje obsceno de la población (¿90%, 99%, 99.9%?) estaría a merced de cualquiera que pretendiera manipular la opinión o el comportamiento —políticos, empresarios, periodistas… Un momento: ¿he escrito “estaría”? Permitid que me desternille un rato.

Concentrándonos en el qué y eliminando el porqué, las matemáticas quedan reducidas a una concha vacía. El arte no está en la “verdad”, sino en el desarrollo de la explicación. Es precisamente este desarrollo el que confiere su contexto a la verdad, el que determina qué es lo que se quiere decir con lo que se afirma. Las matemáticas son el arte de la explicación.

Ya estoy de vuelta. Naturalmente, cualquier reflexión de este cariz acabará por buscar culpables. Naturalmente también, la conclusión es lógica: se trata de un fallo sistémico, y por tanto hay para todos: educadores, editores, autores, pedagogos y políticos en última instancia. Que se trate de un error del sistema explica la generalidad del desastre en países con sistemas educativos, en primera aproximación, muy diferentes. Lockhart sólo deja indemnes a los consumidores finales, los alumnos, de su realmente creativa orgía de reproches. Quizá los más débiles y ¿por eso? quizá los más atacados en España, con las apocalípticas admoniciones del Informe Pisa y los devastadores resultados de las pruebas de nivel de lugares como Madrid como ariete. Está claro. Los estudiantes españoles son tontos. Nuestra idiosincrasia no se adapta a la comprensión de las matemáticas: lo impiden el buen tiempo, la buena comida, los toros y la historia toda del Imperio Español. ¿Dónde si no tantos jóvenes escogerían alternativas para continuar sus estudios en función de la presencia más o menos abundante de las matemáticas en los planes curriculares?

[Refiriéndose a una demostración típica de Geometría de secundaria] Ningún matemático trabaja así. Ningún matemático ha trabajado nunca así. Es un malentendido completo y total del objetivo de las matemáticas. Las matemáticas no consisten en erigir barreras entre nosotros y nuestra intuición, transformando ideas sencillas en complicadas. Las matemáticas deberían eliminar obstáculos para la intuición. Deberían mantener simples las cosas simples.

El ensayo de Lockhart es un emético muy potente. Su autor es un platónico, quizá como buen matemático. Propone soluciones, pero es fácil no estar de acuerdo con ellas. En cualquier caso, la tesis general, que las matemáticas son en realidad un arte y como tal deberían enseñarse, es sólida y muy defendible. Ya había sido comentado en varias fuentes, pero sólo como extracto (la reseña más completa puede encontrarse en Francis (th)E mule Science’s News, como el artículo “Dificultades para ser un buen profesor”). Merecía la pena, sin embargo, traducirlo por completo: los agentes educativos de este país podrían agradecer la eliminación de esta pequeña barrera. Así es que me he permitido arremangarme y publicar esta traducción, El lamento de un matemático, completamente pirata y de cuyos errores me responsabilizo, del texto original*. Bien aconsejado, el autor original expandió su ensayo en un libro de título A Mathematician’s Lament: How School Cheats Us Out of Our Most Fascinating and Imaginative Art Form, sin traducción de momento al castellano.

Hay una profundidad arrebatadora y una belleza infinita en este arte antiguo. Es irónico que la gente rechace las matemáticas como la antítesis de la creatividad. Se están perdiendo una forma de arte anterior a cualquier libro, más intensa que cualquier poema, y más abstracta que cualquier abstracción. ¡Y la escuela es responsable! Qué triste rueda sin fin de profesores inocentes, torturando a igualmente inocentes estudiantes. Podríamos estar pasándolo tan bien…

Por favor, lector: si estás relacionado en lo más mínimo con el mundo de la educación, ya sea como padre, profesor o cualquier otro papel, tómate tu tiempo para leer esta obrita. Te hará pensar. Si todos terminamos por darnos cuenta de dónde está el problema, quizá podamos resolverlo algún día.


*Este documento será retirado en cuanto algún propietario legítimo de sus derechos me lo solicite amablemente (no es que lo espere, pero nunca se sabe).

Pi es tres

Lo dice la , así que es tres y punto. No “tres punto…”, sino “tres, y punto”. A no parecen gustarle las medias tintas, así que si hay que mandar osos a despedazar a unos chavales por mofarse de cierto iluminado, o si fulanito debe morir por llamar al 807 de un adivino (o consultarle algo al inocente , que para la época debía equivaler), pues venga, que llego tarde al holocausto1. Como para andarse con finezas de si π es tres con algo. La prueba:

Él hizo además el Mar de metal fundido, que medía cinco metros de diámetro y tenía forma circular; su altura era de dos metros y medio, y una cuerda de quince metros medía su circunferencia.

Reyes I, 7:23. Quince entre cinco, tres. Más claro, el agua. Pero, claro, eran antiguos. ¿Y tontos? Al menos crueles y sanguinarios eran2 un rato; los ejemplos de antes están entresacados de una lectura rápida de los libros de Reyes.

Año Matemático o documento Cultura Aproximación Error

(en partes por millón)

~1900 a. C. Papiro de Ahmes Egipcia 28/34 ~ 3,1605 6016 ppm
~1600 a. C. Tablilla de Susa Babilónica 25/8 = 3,125 5282 ppm
~600 a. C. La Biblia (Reyes I, 7,23) Judía 3 45070 ppm
~500 a. C. Bandhayana India 3,09 16422 ppm
~250 a. C. Arquímedes de Siracusa Griega entre 3 10/71 y 3 1/7

empleó 211875/67441 ~ 3,14163

<402 ppm

13,45 ppm

~150 Claudio Ptolomeo Greco-egipcia 377/120 = 3,141666… 23,56 ppm
~500 Zu Chongzhi China entre 3,1415926 y 3,1415929
empleó 355/113 ~ 3,1415929
<0,078 ppm
0,085 ppm
~500 Aryabhata India 3,1416 2,34 ppm
~800 Al-Juarismi Persa 3,1416 2,34 ppm
1220 Fibonacci Italiana 3,141818 72,73 ppm
1400 Madhava India 3,14159265359 0,085 ppm
1424 Al-Kashi Persa 2π = 6,2831853071795865 0,1 ppm
Extractado de Número π, Wikipedia

La estimación inspirada por Yavé del valor de π es la peor de la Historia de la Humanidad, sin contar las hechas por neandertales, de las que no ha quedado testimonio. El poder de Yavé debe ciertamente ser omnímodo: uno puede imaginarse a los israelitas masacrando a diestro y siniestro, montados en carros con ruedas prácticamente cuadradas. Y pensar que todavía hay gente que jura cosas sobre este libro.


1. Para quien no lo sepa, holocausto en sentido bíblico significa “sacrificio u ofrenda de un animal por cremación”. No hay implicación antisemita alguna, sólo una de desperdicio de comida.

2. Diría que “son”, pero alguno habrá que se salve, todas las generalizaciones son malas, etcétera.

Probabilidad

Anna-Maija Stefanides, junto con otros diecisiete afortunados, sobrevivió al terrible accidente de Barajas, el pasado 20 de agosto. Planea pasar sus próximas vacaciones en España, como un loable y seguramente eficaz medio de exorcizar sus fantasmas. Atención, pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que vuelva a sufrir otro accidente de avión? ¿Y la de que sobreviva de nuevo?

Este es el tipo de cuestiones para las que el cerebro humano está patéticamente preparado, por decirlo de un modo suave. Nuestra intuición nos dice que la primera respuesta debería ser algo en la línea de “mucho más baja que la primera vez”. Por lo que respecta a la segunda cuestión, tal vez arrancaría hipótesis más pesimistas: la buena señora ya ha sobrevivido una vez, después de todo. Lógicamente, ambas respuestas son erróneas.

Como humanos, la evolución ha preparado a nuestra inteligencia para discernir patrones y proyectarlos en el futuro. Esto, que supone una tremenda ventaja respecto de otros predadores en el campo de batalla de la vida, puede volverse en nuestra contra cuando nos enfrentamos a la más natural de todas las fuerzas, el azar. Buscamos, de un modo inconsciente, hallar un objetivo en la aleatoriedad de las cosas, porque el problema más complejo para el que estamos genéticamente preparados es el de adivinar las intenciones de otro, animal o persona. Las intenciones de la tormenta, la voluntad del viento o los planes del terremoto son conceptos absurdos que, no obstante, adquieren carta de naturaleza en nuestras mentes de forma casi automática, a través de los tiempos y las culturas. Somos animales teleológicos, y hemos creado a los dioses para explicarnos todo aquello que no tiene sentido, empezando por el azar de la propia vida.

Hace poco intenté (sin éxito) explicar por qué la probabilidad de que la señora Stefanides sufriera otro accidente de avión —y, consecuentemente, la de que volviera a sobrevivir— es exactamente la misma que tenía un día antes de aquel 20 de agosto. La prueba del delito ha quedado en los comentarios 5, 9, 10, 11 y 12 de este artículo de El País: “Me reservaron un asiento tranquilo y me salvaron la vida”. Después de pensármelo un poco, he encontrado una explicación que no requiere (casi) matemáticas.

La probabilidad de sufrir un accidente de aviación para cualquiera de nosotros es un número determinado, pequeño. La señora Stefanides tenía la misma que vosotros y que yo antes del 20 de agosto de 2008, pero como sabemos un poco de todo, creemos que es mucho menos probable que vuelva a pasar por la misma experiencia, porque sufrir dos accidentes es mucho más difícil que sufrir uno. Como en la historia del matemático que llevaba en sus viajes una bomba en la maleta para protegerse de los terroristas: si es raro que haya una bomba en un avión, imaginaos lo que será que haya dos.

Lo anterior es un chiste porque hasta el más convencido calculador aficionado de probabilidades intuye que algo va mal. Es raro que llevar una bomba pueda “protegernos” de alguna manera. Pero sigamos adelante, y admitamos que es así. Nos costará mucho más asumir lo siguiente: ¿por qué no se rifan a la señora Stefanides (y en general a los supervivientes de accidentes de aviación) para que “protejan” todos los vuelos posibles con su sola presencia? Sería sencillo: todos los que viajan en un avión van, por así decirlo, “en el mismo barco”. Si la probabilidad de sufrir dos accidentes es tan microscópica, bastará contratar como asistentes de vuelo a supervivientes de accidentes pasados. Podríamos imaginar al Air Force One, o a los aviones de otros potentados como El Pocero llenos hasta los topes de suertudos que protegerían a sus imprescindibles pasajeros con su sola presencia, y con un buen salario, además (la palabra competencia no empieza siquiera a describir cómo se demandaría la presencia de esta gente).

Generalmente, cuando algo no se está haciendo es porque no funciona, y este caso es clamoroso. La explicación de verdad consta de alusiones a la probabilidad condicionada, los sucesos independientes y la probabilidad de hechos en el pasado, pero si aun así no convenzo a nadie más, lo dejo por imposible. Dicho sea de paso, esto está escrito en un avión, camino de Barajas desde París. Si lo veis publicado, es que he vuelto a esquivar a la muerte una vez más. O igual ha sido la señora del pelo blanco de al lado, que tiene pinta de haber vivido mucho y luce una beatífica sonrisa de tranquilidad.