El lamento de un matemático (reloaded)

[…] si tuviera que diseñar un mecanismo con el propósito expreso de destruir la curiosidad natural de los niños y su gusto por la creación de patrones, quizá no haría tan buen trabajo como el que se está haciendo —me faltaría la imaginación necesaria para dar con el tipo de ideas alienantes y sin sentido que constituyen el currículo contemporáneo en matemáticas.

Nada más empezar el verano pasado1 cayó en mis manos un ensayo escrito hace unos años por Paul Lockhart, profesor de matemáticas en un instituto de secundaria de Brooklyn, Nueva York, llamado A Mathematician’s Lament. Ni un artículo ni un libro, este opúsculo tiene la casual propiedad de ser demasiado largo para ser leído de forma casual, y demasiado corto para ser publicado. Sin embargo, un vistazo rápido me desveló su naturaleza: una bomba. Y una bomba, además, demasiado familiar. A pesar de referirse en exclusiva a la enseñanza de las matemáticas en los Estados Unidos, todos y cada uno de los párrafos son adaptables o directamente trasladables al estado de la cuestión en nuestro país.

Lo más doloroso del modo en que las matemáticas se enseñan en las escuelas no es lo que falta —el hecho de que no se hacen matemáticas de verdad en clase— sino lo que ocupa su lugar: el confuso montón de desinformación destructiva conocido como «el currículo matemático».

Al pan, pan. La enseñanza de las matemáticas es un fracaso. Es una suerte que la vida cotidiana no requiera de una gran base en álgebra o estadística; si fuera realmente necesaria, un porcentaje obsceno de la población (¿90%, 99%, 99.9%?) estaría a merced de cualquiera que pretendiera manipular la opinión o el comportamiento —políticos, empresarios, periodistas… Un momento: ¿he escrito «estaría»? Permitid que me desternille un rato.

Concentrándonos en el qué y eliminando el porqué, las matemáticas quedan reducidas a una concha vacía. El arte no está en la «verdad», sino en el desarrollo de la explicación. Es precisamente este desarrollo el que confiere su contexto a la verdad, el que determina qué es lo que se quiere decir con lo que se afirma. Las matemáticas son el arte de la explicación.

Ya estoy de vuelta. Naturalmente, cualquier reflexión de este cariz acabará por buscar culpables. Naturalmente también, la conclusión es lógica: se trata de un fallo sistémico, y por tanto hay para todos: educadores, editores, autores, pedagogos y políticos en última instancia. Que se trate de un error del sistema explica la generalidad del desastre en países con sistemas educativos, en primera aproximación, muy diferentes. Lockhart sólo deja indemnes a los consumidores finales, los alumnos, de su realmente creativa orgía de reproches. Quizá los más débiles y ¿por eso? quizá los más atacados en España, con las apocalípticas admoniciones del Informe Pisa y los devastadores resultados de las pruebas de nivel de lugares como Madrid como ariete. Está claro. Los estudiantes españoles son tontos. Nuestra idiosincrasia no se adapta a la comprensión de las matemáticas: lo impiden el buen tiempo, la buena comida, los toros y la historia toda del Imperio Español. ¿Dónde si no tantos jóvenes escogerían alternativas para continuar sus estudios en función de la presencia más o menos abundante de las matemáticas en los planes curriculares?

[Refiriéndose a una demostración típica de Geometría de secundaria] Ningún matemático trabaja así. Ningún matemático ha trabajado nunca así. Es un malentendido completo y total del objetivo de las matemáticas. Las matemáticas no consisten en erigir barreras entre nosotros y nuestra intuición, transformando ideas sencillas en complicadas. Las matemáticas deberían eliminar obstáculos para la intuición. Deberían mantener simples las cosas simples.

El ensayo de Lockhart es un emético muy potente. Su autor es un platónico, quizá como buen matemático. Propone soluciones, pero es fácil no estar de acuerdo con ellas. En cualquier caso, la tesis general, que las matemáticas son en realidad un arte y como tal deberían enseñarse, es sólida y muy defendible. Ya había sido comentado en varias fuentes —la reseña más completa puede encontrarse en Francis (th)E mule Science’s News, como el artículo «Dificultades para ser un buen profesor». Merecía la pena traducirlo por completo: los agentes educativos de este país podrían agradecer la eliminación de esta pequeña barrera. Recupero aquí mi vieja traducción del texto original, El lamento de un matemático, revisada, completamente pirata y de cuyos errores me responsabilizo2; hay otra, anterior, en la Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, volumen 11 (2008), número 4, páginas 737 a 766. Bien aconsejado, el autor original expandió su ensayo en un libro de título A Mathematician’s Lament: How School Cheats Us Out of Our Most Fascinating and Imaginative Art Form. Que yo sepa, este libro continúa sin disponer de traducción al castellano.

Hay una profundidad arrebatadora y una belleza infinita en este arte antiguo. Es irónico que la gente rechace las matemáticas como la antítesis de la creatividad. Se están perdiendo una forma de arte anterior a cualquier libro, más intensa que cualquier poema, y más abstracta que cualquier abstracción. ¡Y la escuela es responsable! Qué triste rueda sin fin de profesores inocentes, torturando a igualmente inocentes estudiantes. Podríamos estar pasándolo tan bien…

Por favor, lector: si estás relacionado en lo más mínimo con el mundo de la educación, ya sea como padre, profesor o cualquier otro papel, tómate tu tiempo para leer esta obrita. Te hará pensar. Si todos terminamos por darnos cuenta de dónde está el problema, quizá podamos resolverlo algún día.


1. «El verano pasado» es el de 2008; vuelvo a publicar este artículo porque me di cuenta de que su enlace al texto traducido del Lamento se había perdido en alguna migración del blog. He aprovechado para pasar un poco el plumero.
2. Este documento será retirado en cuanto algún propietario legítimo de sus derechos me lo solicite amablemente (no es que lo espere, pero nunca se sabe).

P=NP: y ahora viene cuando la matan

Tan contento que estaba yo: uno de mis autores favoritos, , liberó hace un tiempo su primera colección de historias cortas con una . Hela aquí en toda su gloria: Toast. Aún no he terminado de leerla, y ya estoy, con perdón de la mesa, cagándome por las patas abajo. Maldita realidad.

La primera historia corta de la colección, Anticuerpos, toma como escenario un tema recurrente de la literatura de Stross: una singularidad tecnológica de despegue rápido (hard takeoff singularity). En cristiano: un desarrollo técnico que facilita otros, en una cascada de aceleración imparable. El ejemplo principal (y el de esta historia corta) es una inteligencia artificial. Si entre los objetivos de esta IA está mejorar sus capacidades, puede hacerlo diseñando e implementando algoritmos más capaces y procesadores más rápidos. Sus “hijas” tardarán menos aún en superarse a sí mismas, alcanzando eventualmente algún límite máximo de capacidad de computación por metro cúbico de planeta. Y nosotros, sin haberlo visto venir. Para la segunda iteración, las IAs nos sacan la misma ventana que nosotros a los chimpancés. Para la tercera, estamos al nivel de las hormigas.

¿Y cuál es el evento que dispara los acontecimientos en Anticuerpos? Algo aparentemente sin importancia para un lego: el descubrimiento de que el tiene solución en , y por tanto que . En breve: P y NP son clases de complejidad de problemas. Un problema de tipo P puede resolverse en tiempo polinómico, lo que es aproximadamente equivalente a decir que con la suficiente potencia de cálculo podremos hallar soluciones en plazos de tiempo razonables, donde razonable es menor que antes de que se congele el infierno. Sin embargo, los problemas de sólo pueden verificarse fácilmente: algunos de ellos (los ) no tienen algoritmos que permitan su solución en tiempo polinómico. (Matemáticamente, se dice que NP contiene a P, aunque no se sabe si es una relación de contenido estricto; ambos conjuntos podrían ser iguales.)

Esta asimetría fundamental tiene multitud de usos en computación; el más relevante es la criptografía de clave pública. Multiplicar dos números primos muy grandes es algo que se hace en un momento, pero factorizar el resultado para obtener los dos números de partida puede tomar un tiempo inasumible, sin importar la potencia de proceso que se le dedique al asunto. Si resultara que P = NP, todas las comunicaciones encriptadas del mundo se irían al garete, todas las transacciones seguras dejarían de serlo y sería imposible asegurar la integridad de nada. Si por azar resultara que la inteligencia de un sistema lógico dependiera de la solución de un problema NP-completo, el haber resuelto cualquier otro en tiempo polinómico permitiría, por equivalencias matemáticas más o menos triviales, resolver éste y traer al mundo una IA con ganas de marcha. Es posible que, sin salvaguardas de un tipo muy especial (o incluso con ellas), cualquier problema difícil que se le proponga resolver a una IA derive en un ciclo imparable de apropiación de recursos y automejora. Esos recursos sean primero nuestros ordenadores, y después todos los átomos de la Tierra que puedan ponerse en disposición de computar, incluidos nuestros pobres cuerpos.

Aunque parezca increíble, todavía no os he destripado la historia. Tal vez no me dé tiempo si esto que acabo de leer resulta ser cierto: Polynomial Time Code For 3-SAT Released, P==NP (Slashdot), o su fuente original. El problema de la (y su caso particular ) es NP-completo. Si resulta tener solución en P —el autor ha publicado incluso código fuente— entonces P = NP, todos los problemas NP tienen solución fácil y nuestra economía digital se desploma sobre nuestras cabezas antes de que podamos decir…


Nota: no soy matemático y soy incapaz de determinar por mí mismo si la supuesta prueba de P = NP de la que doy noticia aquí es o no correcta. No saquéis todo vuestro dinero del banco todavía. Esperad a que yo lo haga, por favor.

Nota 2: Este artículo forma parte de la décima edición del Carnaval de Matemáticas, esta vez en casa de Francis (th)E mule Science’s News.

Adenda (28/02/2011): Parece que finalmente el autor de la supuesta pruebe de P=NP ha encontrado un error en su razonamiento. Falsa alarma.

Galculator: RPN (decente) en GNOME

Me ha costado, pero por fin he encontrado una calculadora para que soporta la (RPN). Sí, podía compilarme una x48 (y cada cierto tiempo lo hago), pero desde hace tiempo echaba en falta una calculadora sencilla y con una interfaz agradablemente integrada con el resto del escritorio. ¡Y la encontré! Galculator está en los repositorios de Ubuntu, así que basta buscarla en el Centro de Software o, desde una línea de comandos, teclear

sudo apt-get install galculator

Galculator: captura de pantalla

Tiene un pequeño fallo, pero nada grave: si se selecciona el modo de pila infinita (infinite stack), la tecla roll (para rotar la pila) no funciona. Puede seleccionarse una pila de cuatro elementos (x, y, z, t), como en las calculadoras HP más antiguas, pero cualquiera que haya echado las muelas del juicio con una (C o S) o superior agradecerá disponer de una pila indefinida.

Galculator tiene muchas otras funciones interesantes, además de las típicas de las calculadoras científicas: puede definir constantes o funciones nuevas a partir de otras ya existentes. Dispone, además, de un “modo papel” en el que la interfaz es extremadamente simple: se teclean las operaciones deseadas en un campo de texto, y los resultados van apareciendo encima, como en las antiguas calculadoras de rollo. Además, ofrece la posibilidad de usarla también en un modo más “amigable” (algebraico), lo que agradará a los no iluminados en el camino del RPN.